Διόφαντος (200-284 μ.Χ.)

Ο Έλληνας μαθηματικός Διόφαντος έζησε τον τρίτο αιώνα μ.Χ. στην Αλεξάνδρεια της Αιγύπτου. Η μεθοδολογία και η συλλογιστική του Διόφαντου στην αναζήτηση λύσης προβλημάτων σε μορφή εξισώσεων υπήρξε θεμελιώδης στην εξέλιξη του κλάδου των μαθηματικών, της Άλγεβρας

Αν και την Άλγεβρα την είχαν παρουσιάσει προγενέστεροί του, όπως ο Ευκλείδης, ο Θυμαρίδας, ο Νικομήδης κ.α., την εξέλιξε σε τέτοιο βαθμό, ώστε να θεωρείται «πατέρας» της. Με την ανάπτυξη της Άλγεβρας έθεσε τις βάσεις σε μια σημαντική πτυχή των σύγχρονων μαθηματικών, τη Διοφαντική Ανάλυση, δίνοντας μια μεθοδολογία επίλυσης απροσδιόριστων εξισώσεων με πολλαπλές λύσεις. Επίσης θεωρείται πρόδρομος του μαθηματικού συμβολισμού, εισάγοντας πρώτος σύμβολα στις άγνωστες μεταβλητές των προβλημάτων.

Το σύγγραμμά του Αριθμητικά, είναι το αρχαιότερο ελληνικό σύγγραμμα άλγεβρας και είναι μια εργασία πάνω στη θεωρία των αριθμών. Από αυτό το έργο, μόνο έξι από τα δεκατρία βιβλία έχουν διασωθεί. Αυτά σώθηκαν σε ελληνικές και αραβικές μεταφράσεις. Τα τελευταία ανακαλύφθηκαν τη δεκαετία του 1970 στο Ιράν.

Τα Αριθμητικά αποτελούν μια συλλογή από εκατόν τριάντα προβλήματα στα οποία δίνονται αριθμητικές λύσεις τόσο σε αριθμητικές παραστάσεις όσο και σε αόριστες εξισώσεις ή συστήματα. Πολλά από αυτά είναι απροσδιόριστη λύση πρώτου ή μεγαλύτερου βαθμού. Για τη λύση τους ο Διόφαντος εισήγαγε τον βοηθητικό άγνωστο που παριστάνεται με σύμβολο παρόμοιο με το σίγμα τελικό (ς) και ανέπτυξε μια μεθοδολογία στην οποία χρησιμοποιεί συχνά την αλλαγή μεταβλητής ή τον βοηθητικό άγνωστο. Επίσης ορίζει τον «άλογο» αριθμό ως αυτόν που περιέχει αριθμό μονάδων άγνωστων ακόμη, δηλαδή προσωρινά απροσδιόριστο. Στην αραβική μετάφραση αντίστοιχα χρησιμοποιείται η λέξη «πράγμα» με την αφηρημένη σημασία του ακαθόριστου. Πρέπει να τονιστεί ότι η λέξη άλογος δεν χρησιμοποιείται από τον Διόφαντο στην εκφώνηση των προβλημάτων αλλά μόνο στην επίλυση τους, σαν μέσο για να λυθεί το πρόβλημα.

Ο Διόφαντος ασχολήθηκε και ανέπτυξε ιδιαίτερα τις απροσδιόριστες (ή Διοφαντικές) εξισώσεις, δηλαδή εξισώσεις με πολλαπλές λύσεις. Ένα συνηθισμένο πρόβλημα τέτοιου τύπου είναι το πώς μπορούμε να μετατρέψουμε ένα κατοστάρικο σε νομίσματα χρησιμοποιώντας διαφορετικά από αυτά, πενηντάρικα, εικοσάρικα κ. α. Μελέτησε το Πυθαγόρειο Θεώρημα (α2 + β2 = γ2), όπου α, β, γ, πλευρές ορθογώνιου τριγώνου, και έδωσε γνωστές τριάδες αριθμών που αποτελούν λύση του. Μια τέτοια τριάδα είναι οι αριθμοί 3, 4, 5.

Αν και δεν χρησιμοποίησε αρνητικούς αριθμούς, αφού οι περιορισμοί που έθετε οδηγούσαν πάντοτε σε θετική λύση, πιθανόν να γνώριζε την ύπαρξη τους. Στην εισαγωγή του Α’ Βιβλίου γράφει: «λείψις επί λείψιν ποιεί ύπαρξιν και λείψις επί ύπαρξιν ποιεί λείψιν», δηλαδή με μαθηματικά σύμβολα: {- . - = + και - . + = - } .

Το σύγγραμμά του Περί πολυγώνων αριθμών είναι μια συλλογή προβλημάτων, όπου οι αριθμοί παρίστανται με ευθύγραμμα τμήματα. Άλλα συγγράμματα του, όπως τα Μοριακά, που αναφέρει ο Ιάμβλιχος, και τα Πορίσματα, δεν έχουν διασωθεί. Από αναφορές των έργων του γνωρίζουμε ότι τα Πορίσματα ήταν μια συλλογή θεωρημάτων σχετικά με τις ιδιότητες των αριθμών, στα οποία επίσης παρέθετε και αποδείξεις ταυτοτήτων, χρήση των οποίων έκανε στα Αριθμητικά.

Όταν πέθανε ο μαθηματικός Διόφαντος, οι μαθητές του, κατόπιν δικής του επιθυμίας, αντί άλλου επιγράμματος για τον τάφο του, συνέθεσαν ένα γρίφο, ως εξής:

"ΔΙΑΒΑΤΗ, Σ' ΑΥΤΟΝ ΤΟΝ ΤΑΦΟ ΑΝΑΠΑΥΕΤΑΙ Ο ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ. ΣΕ ΕΣΕΝΑ ΠΟΥ ΕΙΣΑΙ ΣΟΦΟΣ, Η ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΘΑ ΔΩΣΕΙ ΤΟ ΜΕΤΡΟ ΤΗΣ ΖΩΗΣ ΤΟΥ. ΑΚΟΥΣΕ. Ο ΘΕΟΣ ΤΟΥ ΕΠΕΤΡΕΨΕ ΝΑ ΕΙΝΑΙ ΝΕΟΣ ΓΙΑ ΤΟ ΕΝΑ ΕΚΤΟ ΤΗΣ ΖΩΗΣ ΤΟΥ. ΑΚΟΜΑ ΕΝΑ ΔΩΔΕΚΑΤΟ ΚΑΙ ΦΥΤΡΩΣΕ ΤΟ ΜΑΥΡΟ ΓΕΝΙ ΤΟΥ. ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΕΝΑ ΕΒΔΟΜΟ ΑΚΟΜΑ, ΗΡΘΕ ΤΟΥ ΓΑΜΟΥ ΤΟΥ Η ΜΕΡΑ. ΤΟΝ ΠΕΜΠΤΟ ΧΡΟΝΟ ΑΥΤΟΥ ΤΟΥ ΓΑΜΟΥ, ΓΕΝΝΗΘΗΚΕ ΕΝΑ ΠΑΙΔΙ. ΤΙ ΚΡΙΜΑ, ΓΙΑ ΤΟ ΝΕΑΡΟ ΤΟΥ ΓΙΟ. ΑΦΟΥ ΕΖΗΣΕ ΜΟΝΑΧΑ ΤΑ ΜΙΣΑ ΧΡΟΝΙΑ ΑΠΟ ΤΟΝ ΠΑΤΕΡΑ ΤΟΥ, ΓΝΩΡΙΣΕ ΤΗΝ ΠΑΓΩΝΙΑ ΤΟΥ ΘΑΝΑΤΟΥ. ΤΕΣΣΕΡΑ ΧΡΟΝΙΑ ΑΡΓΟΤΕΡΑ, Ο ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ ΒΡΗΚΕ ΠΑΡΗΓΟΡΙΑ ΣΤΗ ΘΛΙΨΗ ΤΟΥ, ΦΤΑΝΟΝΤΑΣ ΣΤΟ ΤΕΛΟΣ ΤΗΣ ΖΩΗΣ ΤΟΥ. "

Το επίγραμμα είναι από τους πιο γνωστούς μαθηματικούς γρίφους και από τη λύση του μαθαίνουμε ότι ο Διόφαντος πέθανε σε ηλικία ογδόντα τεσσάρων ετών. Η λύση του έχει έτσι: ο Διόφαντος πέρασε δέκα τέσσερα χρόνια ως παιδί, εφτά ως νέος και άλλα δώδεκα ως εργένης, οπότε παντρεύτηκε στα τριάντα τρία. Τον πέμπτο χρόνο του γάμου του, σε ηλικία τριάντα οχτώ ετών, απέκτησε ένα γιο, ο οποίος έζησε τα μισά χρόνια του πατέρα του, δηλαδή πέθανε στα σαράντα δυο, όταν ο Διόφαντος ήταν ογδόντα. Μετά τέσσερα χρόνια πέθανε κι ο ίδιος, όντας ογδόντα τεσσάρων ετών.

Σχόλια στο έργο του Διόφαντου έκανε η Υπατία (4ος αι. μ.Χ.) και αργότερα οι Μιχαήλ Ψελλός (11ος αι.), Γ. Παχυμέρης και Μ. Πλανούδης (13ος αι.). Στο σημαντικότερο έργο της στην Άλγεβρα, η Υπατία, έγραψε σχόλια στα Αριθμητικά του Διόφαντου σε δεκατρία βιβλία. Τα σχόλιά της περιελάμβαναν εναλλακτικές λύσεις και πολλά νέα προβλήματα που προέκυπταν σαν συνέπεια των γραπτών του Διόφαντου. Και αυτό το έργο επίσης δεν σώθηκε.

Την εποχή του Μεσαίωνα της Ευρώπης οι Άραβες μελέτησαν και εμπλούτισαν την άλγεβρα και σ΄ αυτούς οφείλει και την ονομασία της (άλγεβρα = παραφθορά του όρου al-gabr = πλήρης / ολοκληρωμένη αριθμητική ή κατ’ άλλους προήλθε όμοια από το έργο Αράβων μαθηματικών του 9ου αι.: al – gabr w’ al-mugabala = ανασύσταση και μείωση). Έπειτα η άλγεβρα και η ανάλυση διαδόθηκαν στην Ιταλία μέσω κυρίως του Leonardo της Πίζας (Fibonazzi), ο οποίος μετέφερε πολλές γνώσεις από τα ταξίδια του στην Ανατολή. Αργότερα, κατά τον 16ο αι., το έργο του Διόφαντου έγινε γνωστό και άρχισαν να δημοσιεύονται μεταφράσεις των Αριθμητικών. Από τους νεότερους μαθηματικούς ο Euler μελέτησε Διόφαντο και έδωσε παρόμοιες λύσεις με αυτόν στις εξισώσεις του.

Η σημασία του έργου του, τον ανέδειξε μεταξύ των μεγαλύτερων μαθηματικών της αρχαιότητας ενώ σπουδαία είναι η συμβολή του στην εξέλιξη των νεότερων μαθηματικών.

Βιβλιογραφία:

ΑΠΑΝΤΑ, Αραβικά και Ελληνικά, Εκδόσεις Κάκτος 1992.

Πηγές στο Διαδίκτυο:
http://www.kaktos.com/home/diofantos.htm.
http://www.pi-schools.gr/hdtc/programs/trends/ergasies/collabor4.htm
http://www.esoterica.gr/articles/esoteric/hepatia/hepatia.htm
http://zxr1.tripod.com/grifoi.htm
http://www.ellinikiestia.gr/ptyxes/periandros/mathematics.htm