Γκέοργκ Φρίντριχ Ρίμαν, 1826-1866 (Georg Friedrich Riemann)

Ο πατέρας του Georg Friendrich Bernhard Riemann ήταν ο Friendrich Bernhard Riemann, λουθηρανός ιερέας. Ο Bernhard ήταν το δεύτερο από τα 6 παιδιά της οικογένειάς του. Το 1840 μπήκε κατευθείαν στην τρίτη τάξη στο Λύκειο του Ανοβέρου και αργότερα μετακόμισε σε άλλη πόλη, στο Luneburg, όπου συνέχισε το σχολείο του.

Ο Riemann φαινόταν να είναι ένας καλός μαθητής που μελετούσε σκληρά, ιδίως Εβραϊκά και Θεολογία. Έδειχνε ένα ιδιαίτερο ενδιαφέρον για τα μαθηματικά, και ο διευθυντής του σχολείου του επέτρεψε στον να μελετήσει μαθηματικά κείμενα από τη δική του βιβλιοθήκη. Σε μια περίπτωση δάνεισε στο Riemann ένα βιβλίο του Legendre για τη θεωρία των αριθμών, κι αυτός διάβασε τις 900 σελίδες του βιβλίου σε έξι ημέρες!

Την άνοιξη του 1846 μπήκε στο πανεπιστήμιο του Gottingen. Ο πατέρας του τον ενθάρρυνε να σπουδάσει θεολογία. Έτσι μπήκε στο τμήμα της Θεολογίας. Όμως ο Riemann παρακολουθούσε κάποιες διαλέξεις για τα μαθηματικά και ζήτησε από τον πατέρα του εάν θα μπορούσε να μεταφερθεί στο τμήμα της φιλοσοφίας, έτσι ώστε να μπορούσε να μελετήσει και μαθηματικά. Ο πατέρας του του το επέτρεψε, κι έτσι ο Riemann πήρε μαθήματα μαθηματικών από τον Moritz Stern και τον Gauss. Αν και το Gottingen ήταν ένα μέρος που δε διακρινόταν για τη δουλειά που έκανε πάνω στα μαθηματικά, ωστόσο ο Stern έλεγε αργότερα για το Riemann ότι "ήδη κελαηδούσε σαν καναρίνι".

Ο Riemann μετακόμισε το 1847 στο πανεπιστήμιο του Βερολίνου. Εκεί πέρασε μια σημαντική εποχή για την επιστημονική του διαμόρφωση. Ο καθηγητής που τον επηρέασε περισσότερο ήταν ο Dirichlet. Ο Riemann ήταν συνδεδεμένος με τον Dirichlet λόγω μιας ισχυρής ομοιότητας που είχαν στον τρόπο σκέψης. Ο Dirichlet αγαπούσε να προσεγγίζει τα μαθηματικά με ένα διαισθητικό τρόπο, και ταυτόχρονα είχε την ικανότητα να δίνει ακριβείς, λογικές αναλύσεις σε θεμελιώδη ζητήματα, αποφεύγοντας μακριές και δυσνόητες εξηγήσεις και αναλύσεις όσο ήταν δυνατόν. Αυτός ο τρόπος ταίριαζε στο Riemann, κι έτσι τον υιοθέτησε και εργάστηκε σύμφωνα με αυτή τη μέθοδο.

Η εργασία του Riemann βασίστηκε σε αυτήν τη διαισθητική λογική, που άφηνε πολλές φορές πίσω το συνήθη τρόπο της μαθηματικής συλλογιστικής και κόντευε να ξεφύγει από τα πλαίσια του επιστημονικά αποδεκτού.

Η αγαπημένη του μελέτη ήταν πάνω στη θεωρία των σύνθετων μεταβλητών, και ειδικά σε αυτά που τώρα αποκαλούμε επιφάνειες Riemann. Εισήγαγε τοπολογικές μεθόδους στη θεωρία των σύνθετων συναρτήσεων.

Ταυτόχρονα, πολύ σημαντική ήταν η συνεισφορά του φυσικού Wilhelm Weber στη μύηση του Riemann στον τομέα της Φυσικής.

Το 1849 ξαναγύρισε στο Gottingen και αυτή τη φορά κέρδισε και την προσοχή του Gauss. Ο Gauss του εμπιστεύτηκε μια διάλεξη για τη Γεωμετρία. Η ομιλία του εκείνη (On the hypotheses that lie at the foundations of geometry) που έδωσε τον Ιούνιο του 1854 έγινε κλασική στα μαθηματικά. Υπήρχαν δύο μέρη στη διάλεξή του. Στο πρώτο μέρος έθετε το πρόβλημα του τρόπου με τον οποίο μπορούμε να προσδιορίσουμε ένα χώρο διαστάσεων και τελείωνε δίνοντας έναν ορισμό αυτού που σήμερα αποκαλούμε χώρο Riemann. O Riemann μπόρεσε να ξεφύγει από τα στενά πλαίσια της Ευκλείδειας Γεωμετρίας και να αποδείξει ότι υπάρχει και μια άλλη Γεωμετρία εξίσου αληθινή, όπου ο χώρος είναι καμπύλος. Σε αυτόν το γεωμετρικό χώρο αλλάζει τελείως το 5ο Αξίωμα του Ευκλείδη.

Το 5ο Αξίωμα του Ευκλείδη λέει ότι:

«Αν θεωρήσουμε μια ευθεία και ένα σημείο έξω από την ευθεία, τότε από αυτό το σημείο διέρχεται μια μοναδική ευθεία, παράλληλη προς την πρώτη ευθεία.».

Στη νέα Γεωμετρία του Riemann «από ένα σημείο έξω από μια ευθεία δε διέρχεται καμία παράλληλη προς την ευθεία». Σε αυτήν τη σφαιρική Γεωμετρία όλες οι ευθείες συναντώνται κάπου.

Στο δεύτερο μέρος της διάλεξης έθεσε πιο βαθιά ερωτήματα σχετικά με τη γεωμετρία και τον κόσμο που ζούμε. Έθεσε το ζήτημα ποια ήταν η διάσταση του αληθινού χώρου και ποια γεωμετρία περιγράφει τον πραγματικό χώρο.

Από όλο το ακροατήριο μόνο ο Gauss μπόρεσε να αντιληφθεί το βάθος και την πρωτοπορία των θέσεων του Riemann. Οι θέσεις αυτές του Riemann ήταν τόσο πρωτοποριακές που μόνο μετά από 60 χρόνια μπόρεσαν να αποδειχτούν πόσο θεμελιώδεις είναι για την ίδια την φύση και τη δομή του σύμπαντος μέσα από τη «Γενική Θεωρία της Σχετικότητας» του Αϊνστάιν. Στη Γεωμετρία του Riemann βρήκε ο Αϊνστάιν το πλαίσιο για να θέσει τις δικές του ιδέες, την κοσμολογία του και την κοσμογονία του, και έτσι το πνεύμα του Riemann βρήκε επιτέλους τη Φυσική που του ταίριαζε.

Παρά τις δυσκολίες που περνούσε και τη φυσική του ντροπαλότητα, τελικά κατάφερε να πάρει τη θέση καθηγητή το 1857. Την ίδια χρονιά εξέδωσε μια άλλη εργασία του (Θεωρία των Αβελιανών Συναρτήσεων) που ανέπτυξε σε ακροατήριο σε 3 άτομα μεταξύ 1855-1856. Μεταξύ αυτών ήταν ο Dedekind, ο οποίος κατάφερε να κάνει διαθέσιμη την ομορφιά των διαλέξεων του Riemann, μετά το θάνατό του, εκδίδοντας σε έργο τις διαλέξεις αυτές.

Η ασυμβατότητα των μεθόδων σκέψης του Riemann έκανε την πλειονότητα των μαθηματικών της εποχής του να στραφεί εναντίον του. Ο Riemann όπως επέμενε στον τρόπο σκέψης και ανάπτυξης των μεθόδων του, γνωρίζοντας ότι δεν είναι αυστηρά μαθηματικοί ως προς τη συνήθη μεθοδολογία αλλά ότι οδηγούν σε μια ανώτερη μαθηματική αλήθεια, αν και φαίνονται επιφανειακά αστήριχτοι με μια μαθηματική ακριβολογία. Ο μη συμβατικός διαισθητικός τρόπος σκέψης του Riemann ήταν όμως αυτός που του επέτρεψε να ξεφύγει από τα στενά «κλουβιά» σκέψης της εποχής του και να τολμήσει να θέσει προβλήματα και ζητήματα πολύ μπροστά από τη δική του εποχή, όπως αυτό που έμεινε στην ιστορία ως «Υπόθεση Riemann».

Ο Β. Reimann έμελλε να κάνει μία μαθηματική υπόθεση που, ενώ φαίνεται να επαληθεύεται συνεχώς από τότε, ωστόσο κανείς δεν την έχει αποδείξει ακόμα. Κι ακόμα χειρότερα, η θεωρία αριθμών είναι γεμάτη από αποδείξεις που ξεκινάνε από τη φράση: «αν η υπόθεση του Riemann είναι σωστή, τότε ...». Αυτό σημαίνει ότι ένας μεγάλος αριθμός θεωρημάτων έχει στηριχτεί σε μία υπόθεση που δεν μπορεί ακόμα να επιλυθεί μετά από τόσο καιρό.

Η υπόθεση Riemann έχει να κάνει με αυτό που έγινε αργότερα γνωστό ως «ζήτα» συνάρτηση του Riemann. Αυτή η «ζήτα» συνάρτηση λειτουργεί έτσι ώστε, όταν την τροφοδοτείς με αριθμούς από το ένα μέρος της σου εξάγει «μηδενικά». Σε αυτή τη συνάρτηση, τα «μηδενικά» βρίσκονται όλα σε μία γραφική παράσταση, σε μία ευθεία γραμμή. Λόγω της πολύ εξειδικευμένης μαθηματικής διατύπωσης αυτής της συνάρτησης, δε θα εξηγήσουμε τον τρόπο με τον οποίο εξάγεται αλλά θα μιλήσουμε μόνο για τις συνέπειές της στη σύγχρονη Φυσική, στα μαθηματικά αλλά και στη φιλοσοφία. Η υπόθεση Riemann μας δείχνει ότι, αν και οι «πρώτοι» αριθμοί είναι απρόβλεπτοι και τυχαίοι, γιατί δεν υπάρχει κάποια εξίσωση που να μας δείχνει πώς παράγονται, παρόλα αυτά το πλήθος τους, παραδόξως, κατανέμεται με αρμονικό τρόπο, όπως μας δείχνει η «ζήτα» συνάρτηση του Riemann.

Οι «πρώτοι» αριθμοί μοιάζουν πολύ απλοί, με την πρώτη ματιά. Είναι αυτοί οι αριθμοί όπως 2,3,5,7 κ.α., που είναι διαιρετοί μόνο με το 1 και τους εαυτούς τους, αν και ο 1 δε συμπεριλαμβάνεται σε αυτούς. Οι «πρώτοι» αριθμοί είναι τα άτομα του αριθμητικού συστήματος, διότι καθένας άλλος αριθμός μπορεί να κατασκευαστεί πολλαπλασιάζοντας τους «πρώτους» μεταξύ τους. Δυστυχώς δεν υπάρχει περιοδικός πίνακας για αυτούς τους αριθμούς · αυτοί είναι τρελά απρόβλεπτοι, και το να βρεις νέους «πρώτους» αριθμούς μοιάζει περισσότερο σαν ένα είδος δοκιμής σωστού και λάθους.

Ενώ είναι δυνατόν να προβλέψεις με μάλλον καλή ακρίβεια το πλήθος των «πρώτων» αριθμών, από την άλλη η κατανομή των «πρώτων» αριθμών σε μικρά διαστήματα δείχνει ένα είδος ενυπάρχουσας τυχαιότητας. Αυτός ο συνδυασμός της «τύχης» με την «πρόβλεψη» αποφέρει στην ίδια στιγμή τακτική διευθέτηση κι ένα στοιχείο έκπληξης στην κατανομή των «πρώτων». Σύμφωνα με τον Schroeder (1984), στο ενδιαφέρον βιβλίο «Number Theory in Science and Communication», αυτά είναι βασικά συστατικά της τέχνης. Πολλοί μαθηματικοί πολύ γρήγορα θα συμφωνούσαν ότι αυτό το θέμα έχει μια ακαταμάχητη αισθητική έλξη" P. Ribenboim, "The Book of Prime Number Records, 2nd ed. (Springer-Verlag, 1989), σελ. 153

«Για μένα, το γεγονός ότι η κατανομή των «πρώτων» αριθμών μπορεί να αναπαρασταθεί με τέτοια ακρίβεια σε μια τέτοια αρμονική ανάλυση που είναι απόλυτα καταπληκτική και απίστευτα όμορφη. Μας μιλάει για μια μυστική μουσική και μια μυστική αρμονία που συντίθεται από τους πρώτους αριθμούς."
E. Bombieri από το "Prime Territory" (The Science, Sept/Oct, 1992)


Αυτό που έχει κάνει τη «ζήτα» συνάρτηση του Riemann τόσο διάσημη είναι ότι συνδέει τους πρώτους αριθμούς με νέες επιστήμες, όπως του Χάους και των Κβάντα, όπως μας δείχνουν νεώτερες έρευνες.

Η απόδειξη του θεωρήματος του Riemann έχει γίνει τόσο αναγκαία για τους μαθηματικούς, που είναι ένας στόχος ζωής για πάρα πολλούς από αυτούς.

Ο μαθηματικός Charles Ryavec διηγείται ένα διάλογό του με έναν άλλο μαθηματικό:

«Μιλώντας με έναν άλλο μαθηματικό κάποτε τον ρώτησα. «Υπέθεσε ότι γίνεται μια καταστροφή και μένεις μόνος σου στον κόσμο. Θα προσπαθούσες να βρεις τη λύση στην υπόθεση του Riemann;» Συμφωνήσαμε και οι δύο ότι αυτό δε θα το κάναμε. Μετά τον ξαναρώτησα: «Αλλά τι θα γίνει αν επιβιώσετε 5 άνθρωποι στη Γη και όλοι αυτοί είναι μαθηματικοί;» Αυτός μου απάντησε: «Με πέντε ή δέκα πιθανώς θα το προσπαθούσα!!!».

Και μερικά ακόμη λόγια για αυτή τη θεμελιώδη προσφορά της σκέψης του Riemann:

"Παραμένει άλυτη αλλά, αν είναι αληθινή, η υπόθεση Riemann θα μας πάει στην καρδιά αυτού που κάνει τόσους μαθηματικούς να τρέμουν: τους "πρώτους" αριθμούς. Αυτοί οι αδιαίρετοι αριθμοί είναι τα άτομα της αριθμητικής. Κάθε αριθμός μπορεί να δομηθεί με τον πολλαπλασιασμό των "πρώτων" αριθμών. Οι "πρώτοι" έχουν εντυπωσιάσει γενιές μαθηματικών και μη-μαθηματικών παρόμοια, αλλά ακόμη οι ιδιότητές τους παραμένουν βαθιά μυστηριώδεις. Οποιοσδήποτε αποδείξει ή διαψεύσει την υπόθεση Riemann θα ανακαλύψει το κλειδί για πολλά από τα μυστικά τους και για αυτό ανεβαίνει πάνω από το θεώρημα του Fermat ως το θεώρημα, για του οποίου την απόδειξη, πολλοί μαθηματικοί θα πουλούσαν την ψυχή τους στο διάβολο.

Αν και η υπόθεση Riemann δεν έγινε γνωστή στον κόσμο ως το Γκράαλ των μαθηματικών, οι "πρώτοι" αριθμοί από μόνοι τους εμφανίζονται περιοδικά στους τίτλους των ειδήσεων. Αλλά για τους μαθηματικούς, τέτοια νέα είναι χωρίς μεγάλη σημασία. Οι μαθηματικοί περισσότερο αναζητούν πρότυπα, και οι "πρώτοι" αριθμοί αποτελούν αυτήν τη μεγάλη πρόκληση. Όταν τους παρατηρείς σε μια λίστα τείνοντας προς το άπειρο, μοιάζουν χαοτικοί, σαν τα ζιζάνια που αναπτύσσονται σε μια έκταση από γρασίδι, το οποίο αναπαριστά όλους τους αριθμούς. Για αιώνες οι μαθηματικοί έχουν αγωνιστεί να βρουν οποιαδήποτε αρμονία και λογική μέσα σε αυτόν τον κυκεώνα. Υπάρχει κάποια μουσική που μπορούμε να ακούσουμε μέσα σε αυτόν το θόρυβο; Υπάρχει ένας γρήγορος τρόπος να εντοπίσουμε ότι ένας συγκεκριμένος αριθμός είναι "πρώτος"; Όταν έχει έναν "πρώτο" αριθμό, πόσο μακριά πρέπει να μετρήσεις μέχρι να βρεις τον επόμενο στη λίστα; Αυτά είναι τα είδη των ερωτήσεων που έχουν ταλανίσει γενιές" M. du Sautoy, "The Music of Primes", Science Spectra 11 (1998)

Το 1862 παντρεύεται την Elise Koch, που ήταν φίλη της αδελφής του, και κάνουν μια κόρη. Την ίδια χρονιά αρρωσταίνει βαριά και παθαίνει φυματίωση. Προσπαθεί να βελτιώσει την υγεία του με ταξίδια στην Ιταλία, αλλά τελικά ποτέ δε θα αναρρώσει πλήρως, κι έτσι ο θάνατος τον βρίσκει στην Selasca της Ιταλίας το 1866. O Dedekind μας διασώζει ότι, αν και ο Riemann έβλεπε ότι το τέλος του είναι κοντά, ωστόσο μία ημέρα πριν το θάνατό του αναπαυόταν κάτω από ένα δένδρο, ευτυχισμένος μπροστά στο όμορφο ιταλικό τοπίο, και εργαζόταν πάνω σε μια εργασία που δυστυχώς την άφησε ατελείωτη.

Αμέσως μετά το θάνατό του, πολλοί μαθηματικοί άρχισαν να αναγνωρίζουν τη μεγαλοφυία του και αγωνίστηκαν να βάλουν μια πιο στέρεα, επιστημονική δομή στις θεωρίες του. Αυτή που έμεινε στην ιστορία ως "Αρχή Dirichlet" και που ο Riemann την έπαιρνε ως δεδομένη για να αναπτύξει τις θεωρίες του, ήταν ένα αγκάθι για τους ακριβολόγους μαθηματικούς, γιατί δε στηριζόταν σε μια στέρεα απόδειξη. Χρόνια αργότερα, το 1901, ο Hilbert μπόρεσε να βρει μια ορθή απόδειξη της "Αρχής Dirichlet" και έτσι ο Riemann δικαιώθηκε πλήρως. Εντωμεταξύ πολλοί μαθηματικοί, προσπαθώντας να αποδείξουν αυτήν την Αρχή, ανακάλυψαν πολλές ιδέες στην Άλγεβρα που βοήθησαν την ανάπτυξη της Μαθηματικής Επιστήμης.

Όπως έγραψε ο Monastyrsky:
"Είναι δύσκολο να θυμηθούμε κάποιο άλλο παράδειγμα στην ιστορία των μαθηματικών του 19ου αιώνα, όπου ο αγώνας για αυστηρή απόδειξη οδήγησε σε τόσο παραγωγικά αποτελέσματα"

Η συνεισφορά του Riemann ήταν θεμελιώδης σε πολλούς τομείς.

Αυτό όμως που πρέπει να κρατήσει κανείς από τη γνωριμία του με τη σκέψη αυτού του μεγάλου επιστήμονα είναι ότι πολλές φορές η αλήθεια που εμείς αναζητούμε να βρούμε - κι αυτή αναζητά εμάς για να εκφραστεί - δε βρίσκεται σε αυτό που συνηθίζουμε να λέμε ορθολογισμό.

Πολλές φορές βρίσκεται εκεί που η φαντασία ενώνεται με την αγάπη για τη σοφία. Και αν συνεπικουρείται από την τόλμη για πρωτοτυπία, την πρωτοπορία σκέψης και την ελευθερία από τα στενά πλαίσια του συνηθισμένου τρόπου σκέψης, τότε έχουμε τη γέννηση τέτοιων μεγαλοφυϊών, όπως ήταν ο B. Riemann.

Πηγές
http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/
http://scienceworld.wolfram.com
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/
Εγκυκλοπαίδεια "Πάπυρους Λαρούς Μπριττάνικα"